Sous-sections

2. Équations différentielles

Une équation différentielle est une relation d'égalité entre la valeur d'une fonction, de ses arguments, et de ses dérivées. Ce type d'équation sert à décrire de nombreux phénomènes physiques. L'autre type majeur d'équation fait intervenir les intégrales d'une fonction plutôt que ses dérivées. Les équations intégrales sont d'un usage plus rare et ne seront pas traitées dans ce cours.

En général, une équation différentielle possède une infinité de solutions car elle décrit un phénomène général. L'étude d'un cas particulier conduit à ajouter des conditions, qu'on appelle des conditions aux limites si le domaine spatial est délimité, et des conditions initiales si le phénomène présente une évolution temporelle.

2.1 Équations différentielles ordinaires (EDO)

Une EDO est une équation différentielle pour une fonction $ y$ à une seule variable $ t$, qu'on peut écrire de manière générique comme :

$\displaystyle \dot{y}(t) = f(t,y(t))  ,$ (2.1)

$ f$ est une fonction connue. Par exemple, $ \dot{y}(t) = 2y(t)$ est une EDO. Elle possède une infinité de solutions : $ y(t) = A e^{2t}$ pour tout $ A\in \Re$. Si on ajoute la condition initiale $ y(0) = 3$, alors il n'y a plus qu'une seule solution : $ y(t) = 3 e^{2t}$. En outre, cette solution est exacte. Les logiciels capables de déterminer une solution générale sous forme d'une formule sont rares, et les cas où ils peuvent le faire sont rares aussi. En général, on ne peut pas décrire la solution par une formule, et on a recours à un ordinateur pour fournir une solution approchée, sous forme d'une série de valeurs de la fonction correspondants à des valeurs choisies de son argument. Pour notre example, l'ordinateur ne donnera pas la formule $ y(t) = 3 e^{2t}$, mais plutôt la série de valeurs $ y_i = 3 e^{2t_i}$ pour

$\displaystyle t_i = (i-1)\Delta t  ,   i\in [1,n]  ,$ (2.2)

(figure 2.1). Le choix de l'espacement $ \Delta t$ est très important. S'il est choisi trop grand, il ne sera pas possible de suivre toutes les variations de la fonction (Figure 2.2). S'il est très petit, on risque d'effectuer plus de calculs que nécessaire, et on perd en efficacité. Une fois $ \Delta t$ choisi, le nombre $ n$ de pas dépend de la durée désirée $ T$ de la simulation :

$\displaystyle n = \rm {int}(\frac{T}{\Delta t})+1  .$ (2.3)

En résumé, on peut définir une simulation numérique comme la résolution du problème suivant : trouver la fonction inconnue $ y(t)$ sous la fome d'une série de nombres $ y(t_1), y(t_2),\cdots$, sachant qu'elle obéit à l'EDO (2.1). La valeur initiale $ y(t_1)$ est donnée, et constitue la condition initiale.

Figure: 'discretisation.eps' En informatique, les valeurs d'une variable physique sont codées en base deux, sous forme d'une série de 8, 16, 32, 64, ou 128 bits, suivant la précision désirée. Ces valeurs sont donc dénombrables, et elles sont numérotées de 1 à $ n$ ci-dessus. Les valeurs physiques correspondantes sont ici régulièrement espacées de $ \Delta t$ : la $ i$ème valeur vaut $ t_i = (i-1)\Delta t$. Cette régularité n'est pas obligatoire, mais elle est très courante dans les applications pratiques.
\includegraphics[scale=0.8]{FIGURES/discretisation.eps}
Figure: 'echantillonage.eps' Une fonction continue (courbe noire) est représentée par une série de valeurs qu'on appelle des échantillons de la fonction. L'espacement des échantillons doit être choisi de manière à suivre de près les variations de la fonction. Ici, les échantillons indiqués par une croix sont trop espacés ( $ \Delta x_2$) et les variations de la fonction entre deux échantillons seront perdues. On appelle cela un sous-échantillonage. Les échantillons indiqués par un point, cinq fois plus rapprochés ( $ \Delta x_1 = \Delta x_2 /5$), rendent compte correctement de toutes les variations.
\includegraphics[scale=0.6]{FIGURES/echantillonage.eps}
Figure: 'euler.eps' Illustration de la méthode d'Euler pour résoudre une EDO. La valeur $ y(t_2)$ de la fonction au temps $ t_2$ est calculée par une extrapolation linéaire à partir de sa valeur $ y(t_1)$, et de la valeur de sa dérivée $ \dot{y}(t_1)$ qui est donnée par l'EDO à résoudre. La courbe en trait épais représente la solution exacte et permet de visualiser l'erreur de la méthode. Bien entendu, dans les applications concrètes, la courbe exacte est inconnue, et on a recours à d'autres tests pour estimer l'erreur.
\includegraphics[scale=0.7]{FIGURES/euler.eps}
Figure: 'PointMilieu.eps' Illustration de la méthode du point milieu (ou de Runge-Kutta) pour résoudre une EDO. Dans un premier temps, on fait une extrapolation linéaire suivant la méthode d'Euler (figure 2.3) mais d'un demi-pas seulement, ce qui fournit une valeur de $ y(t_1+\Delta t/2)$. Cette valeur est insérée dans l'EDO à résoudre, pour obtenir la dérivée $ \dot{y}(t_1+\Delta t/2)$. Dans un deuxième temps, on fait une extrapolation linéaire directement de $ t_1$ à $ t_2$, mais en utilisant la pente au point milieu, $ \dot{y}(t_1+\Delta t/2)$, au lieu de la pente $ \dot{y}(t_1)$ au point $ t_1$, comme dans la méthode d'Euler. L'erreur apparaît plus faible que dans la méthode d'Euler.
\includegraphics[scale=0.7]{FIGURES/PointMilieu.eps}

2.1.1 Méthode d'Euler

Cette méthode est basée sur l'expansion de Taylor :

$\displaystyle y(t+\Delta t)=y(t)+\sum_{i=1}^\infty \frac{\Delta t^i}{i!} y^{(i)}(t)  ,$ (2.4)

$ y^{(i)}(t)$ représente la $ i$ème dérivée de $ y$, au temps $ t$. Au ``premier ordre'', cette expansion s'écrit

$\displaystyle y(t+\Delta t)=y(t)+\Delta t \dot{y}(t) + \mathcal{O} (\Delta t^2)  .$ (2.5)

Le terme $ \mathcal{O} (\Delta t^2)$ représente toute la suite de la série, dont la valeur totale est de l'ordre de $ \Delta t^2$ car le premier terme est de cet ordre, et les autres termes sont beaucoup plus petits puisqu'ils sont respectivement de l'ordre2.1 de $ \Delta t^3, \Delta t^4,...$. La méthode d'Euler consiste à combiner l'EDO (2.1) à résoudre avec l'expansion au premier ordre (2.4), et la discrétisation de l'argument $ t$ (2.2). On obtient la formule générale suivante :

$\displaystyle y(t_{i+1}) = y(t_i) + \Delta t   f(t_i,y(t_i))  .$ (2.6)

Une illustration graphique de cette méthode est donnée en figure 2.3, pour $ i=1$, et où $ \dot{y}(t_1)=f(t_1,y(t_1))$. Il est très important de comprendre que (2.6) n'est pas exacte. On a introduit une erreur en négligeant les termes représentés par $ \mathcal{O} (\Delta t^2)$ dans (2.5). On dit que cette méthode est ``à l'ordre 1'' car les termes d'ordre $ \Delta t^2$ et supérieurs sont négligés.

2.1.2 Méthode du point milieu, ou de Runge-Kutta

Cette méthode est plus compliquée mais plus précise que la méthode d'Euler. Elle part de l'expansion de Taylor au deuxième ordre et se construit ainsi :

$\displaystyle y(t+\Delta t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y(t)+\Delta t \dot{y}(t) + \frac{\Delta t^2}{2} \ddot{y}(t)
+ \mathcal{O} (\Delta t^3)$ (2.7)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle y(t)+\Delta t
\left( \dot{y}(t) + \frac{\Delta t}{2} \ddot{y}(t)\right)
+ \mathcal{O} (\Delta t^3)$ (2.8)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle y(t)+\Delta t
\left( \dot{y}(t+\Delta t/2) - \mathcal{O} (\Delta t^2)\right)
+ \mathcal{O} (\Delta t^3)$ (2.9)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle y(t)+\Delta t  
\dot{y}(t+\Delta t/2) - \mathcal{O} (\Delta t^3)
+ \mathcal{O} (\Delta t^3)$ (2.10)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle y(t)+\Delta t  
\dot{y}(t+\Delta t/2) + \mathcal{O} (\Delta t^3)$ (2.11)

En (2.8), on a simplement mis $ \Delta t$ en facteur. En (2.9), on a appliqué la méthode d'Euler avec un demi-pas sur la fonction $ \dot{y}$ : $ \dot{y}(t+\Delta t/2)=\dot{y}(t)+\Delta t/2 \ddot{y}(t)+\mathcal{O} (\Delta t^2)$. En (2.10), on a redistribué le facteur $ \Delta t$. En (2.11), on se souvient que $ \mathcal{O} (\Delta t^3)$ représente n'importe quelle valeur de l'ordre de $ \Delta t^3$. La différence $ \mathcal{O} (\Delta t^3)-\mathcal{O} (\Delta t^3)$ n'est donc pas zéro, mais une autre valeur, du même ordre.

Le dernier terme de l'équation (2.11) montre que la méthode du point-milieu néglige les termes d'ordre $ \Delta t^3$. On dit que cette méthode est d'ordre 2. On s'attend donc à ce que l'erreur de cette méthode soit plus petite que l'erreur obtenue par la méthode d'Euler, d'ordre 1 (cf equation (2.5)).

La figure 2.4 est une représentation graphique de la méthode. En pratique, on calcule d'abord la valeur de la fonction au point milieu $ t_i+\Delta t/2$ par la méthode d'Euler

$\displaystyle y(t_i+\Delta t/2) = y(t_i) +\frac{\Delta t}{2}  f(t_i,y(t_i))  ,$ (2.12)

puis on en déduit la dérivée au point milieu en utilisant l'EDO (2.1) :

$\displaystyle \dot{y}(t_i+\Delta t/2) = f(t_i+\Delta t/2,y(t_i+\Delta t/2))  .$ (2.13)

On utilise enfin cette dérivée pour extrapoler la fonction $ y$ de $ t_i$ à $ t_{i+1}$ :

$\displaystyle y(t_{i+1}) = y(t_i) +\Delta t \dot{y}(t_i+\Delta t/2)  .$ (2.14)

2.1.3 Exemple d'un oscillateur

Le but est de simuler numériquement l'oscillation verticale d'un objet suspendu à un ressort (figure 2.5). Nous allons déterminer l'équation différentielle ordinaire qui décrit ce mouvement, puis nous allons la résoudre analytiquement pour obtenir la solution exacte. Ensuite, nous établirons les algorithmes de résolution numérique par les méthodes d'Euler et du point milieu.

Figure: 'oscillateur.eps' Un ressort (longueur à vide $ l$) soutient un objet de masse $ m$. L'axe $ x$ mesure l'écart de la masse à sa position d'équilibre au cours du temps $ t$.
\includegraphics[scale=0.6]{FIGURES/oscillateur.eps}

2.1.3.1 EDO de l'oscillateur

la masse $ m$ de la figure 2.5 située à la position $ x(t)$ est soumise à son poid $ \mathbf{P} = m g \mathbf{e}$ et à la réaction du ressort $ \mathbf{R}(t) = (-k x(t) -k x_v) \mathbf{e}$, où $ \vert x_v\vert$ est l'allongement du ressort lorsque la masse est immobile, et $ k$, la raideur du ressort. La deuxième loi de Newton s'écrit $ \mathbf{P}+\mathbf{R}(t) = m \ddot{x}(t)$, ce qui donne l'équation du mouvement de la masse

$\displaystyle \ddot{x}(t) = -\frac{k}{m} x(t)  .$ (2.15)

puisque, par définition de $ x_v$, $ mg=kx_v$.

2.1.3.2 Solution analytique

Les solutions de l'équation (2.15) s'écrivent d'une manière générale

$\displaystyle x(t) = A \sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}} t+\varphi \right), \;\forall A,\varphi\in\Re   .$ (2.16)

Les paramètres d'amplitude $ A$ et de phase $ \varphi$ sont déterminés lorsqu'une expérience est définie. Pour un système aussi simple que cet oscillateur, une expérience est entièrement définie par la position initiale $ x(0)$, et la vitesse initiale $ \dot{x}(0)$ de la masse. Par exemple, à l'instant $ t_1=0$, on lance la masse vers le haut à 10 cm/s, depuis sa position d'équilibre $ x=0$. Ces conditions initiales se traduisent par $ x(t_1) = 0$, et $ \dot{x}(t_1) = -0.1$ m/s. On en déduit que cette expérience a une solution unique donnée par (2.16) avec $ \varphi=0$ et $ A = -0.1 \sqrt{\frac{m}{k}}$. Cette solution est illustrée en figure 2.6, où la période est $ T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Figure 2.6: 'osc_sol.eps' Graphe de la solution analytique (2.16) montrant le mouvement de la masse au cours du temps.
\includegraphics[scale=0.6]{FIGURES/osc_sol.eps}

2.1.3.3 Solution numérique par ``Euler''

Le problème posé est de résoudre l'équation (2.15) sous forme d'une série de nombre $ x(t_i)$ pour $ t_i = (i-1)\Delta t$. Les conditions initiales $ x(t_1)$ et $ \dot{x}(t_1)$ sont données. La méthode d'Euler s'applique à des EDO du premier degré, il faut donc décomposer (2.15) en deux EDO couplées du premier degré. La procédure générale est de définir les deux fonctions $ y_1(t) = x(t)$ et $ y_2(t) = \dot{x}(t)$. L'EDO (2.15) est alors équivalente aux deux EDO

$\displaystyle \dot{y}_1(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_2(t)$  
$\displaystyle \dot{y}_2(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{k}{m}y_1(t)  .$ (2.17)

On peut maintenant résoudre chaque EDO par la méthode d'Euler :
$\displaystyle y_1(t_{i+1})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_1(t_i)+\Delta t \dot{y}_1(t_i)= y_1(t_i)+\Delta t  y_2(t_i)$  
$\displaystyle y_2(t_{i+1})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_2(t_{i})+\Delta t \dot{y}_2(t_i)=y_2(t_{i})+\Delta t\left( -\frac{k}{m}y_1(t_i)\right)   .$ (2.18)

A partir de $ y_1(t_{1})=x(t_1)$ et de $ y_2(t_{1})=\dot{x}(t_1)$, on calcule par itération sur $ i$ la suite des nombres $ y_1(t_i)$ qui est la solution $ x(t_i)$ cherchée. Le nombre $ n$ d'itérations est calculé d'après la durée de simulation désirée suivant l'équation (2.3).

2.1.3.4 Solution numérique par le point milieu

Pour la même raison que pour la méthode d'Euler, on utilise la décomposition (2.17). On commence par le calcul intermédiaire du point milieu par la méthode d'Euler :

$\displaystyle y_1^E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_1(t_i+\Delta t/2)
= y_1(t_i)+\Delta t/2  \dot{y}_1(t_i)
= y_1(t_i)+\Delta t/2  y_2(t_i)$  
$\displaystyle y_2^E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_2(t_i+\Delta t/2)
= y_2(t_i)+\Delta t/2  \dot{y}_2(t_i)
= y_2(t_i)+\Delta t/2 \left(-\frac{k}{m} y_1(t_i)\right)  ,$ (2.19)

puis on fait l'extrapolation
$\displaystyle y_1(t_{i+1})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_1(t_i)+\Delta t  \dot{y}_1(t_i+\Delta t/2)
= y_1(t_i)+\Delta t   y_2^E$  
$\displaystyle y_2(t_{i+1})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_2(t_i) +\Delta t  \dot{y}_2(t_i+\Delta t/2)
= y_2(t_i)+\Delta t \left(-\frac{k}{m} y_1^E\right)
  .$ (2.20)

Une mise en œuvre pratique de cet exemple est détaillée dans la section de travaux pratiques.

2.2 Équations différentielles partielles (EDP)

Une EDP est une équation différentielle pour une fonction à plusieurs variables. Par exemple, la fonction $ p(x,t)$ à deux variables peut obéir à l'équation qui décrit les ondes acoustiques en 1D :

$\displaystyle \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}  ,$ (2.21)

ou bien à l'équation de diffusion

$\displaystyle \frac{\partial p}{\partial t} = D \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}  ,$ (2.22)

ou encore à l'équation de Laplace

$\displaystyle \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = 0  .$ (2.23)

Comme pour les EDO, on doit discrétiser les variables. On note donc $ x_l = (l-1)\Delta x$, $ t_i = (i-1)\Delta t$, et on introduit en outre la notation $ p_{l,i} = p(x_l,t_i)$ où le premier indice désigne la valeur de la première variable, soit $ x$, et le deuxième indice, celle de $ t$. Bien qu'elle y ressemble, cette notation n'a rien à voir avec la notation indicielle en analyse tensorielle !

2.2.1 Méthode des différences finies

Cette méthode est une généralisation de la méthode d'Euler à une fonction de plusieurs variables. L'expansion de Taylor de la fonction $ p(x,t)$ par rapport à $ x$ s'écrit

$\displaystyle p(x+\Delta x,t)=p(x,t)+\sum_{i=1}^\infty \frac{\Delta t^i}{i!} p^{(i)}(x,t)  .$ (2.24)

En ne retenant que les quatre premiers termes

$\displaystyle p(x+\Delta x,t)=p(x,t)+\Delta x\frac{\partial p}{\partial x}(x,t)...
... x^3}{3!}\frac{\partial^3 p}{\partial x^3}(x,t) + \mathcal{O} (\Delta x^4)   .$ (2.25)

L'expansion dans le sens opposé de l'axe x s'obtient en remplaçant $ \Delta x$ par $ -\Delta x$ :
$\displaystyle p(x-\Delta x,t)=p(x,t)-\Delta x\frac{\partial p}{\partial x}(x,t)...
... x^3}{3!}\frac{\partial^3 p}{\partial x^3}(x,t)
+ \mathcal{O} (\Delta x^4)
  .$     (2.26)

On peut déduire de ces expansions des approximations par différences-finies des dérivées partielles de $ p$. Avec l'équation (2.25), on obtient

$\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x}(x,t) = \frac{p(x+\Delta x,t)-p(x,t)}{\Delta x} + \mathcal{O} (\Delta x)   ,$ (2.27)

avec l'équation (2.26), on obtient

$\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x}(x,t) = \frac{p(x,t)-p(x-\Delta x,t)}{\Delta x} + \mathcal{O} (\Delta x)   ,$ (2.28)

et par la différence entre (2.25) et (2.26),

$\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x}(x,t) = \frac{p(x+\Delta x,t)-p(x-\Delta x,t)}{2\Delta x} + \mathcal{O} (\Delta x^2)   .$ (2.29)

On dispose donc de trois approximations de la dérivée partielle de $ p$. La troisième, (2.29), est la meilleure car les erreurs, symbolisées par $ \mathcal{O} (\Delta x^2)$, sont plus petites.

En faisant la somme de (2.25) et (2.26), on obtient une approximation de la dérivée seconde de $ p$

$\displaystyle \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}(x,t) = \frac{p(x+\Delta x,t)+p(x-\Delta x,t)-2p(x,t)}{\Delta x^2} + \mathcal{O} (\Delta x^2)   .$ (2.30)

Pour préparer les applications pratiques, on réecrit les résultats précédents sous forme de schémas de différences-finies qui prennent en compte le caractère discret des variables.

\fbox{%\colorbox{red}{
\begin{minipage}[t]{\textwidth}
\textbf{schéma de diffé...
...ac{p_{l+1,i}+p_{l-1,i}-2p_{l,i}}{\Delta x^2}
  .
\end{equation}\end{minipage} }

2.2.2 Exemple d'une onde acoustique

Le champ de pression $ p(x,t)$ d'une onde acoustique en 1D obéit à l'équation (2.21). Pour résoudre numériquement cette équation par la méthode des différences finies on utilise l'approximation (2.34) appliquée à $ x$ et à $ t$. L'équation (2.21) devient

$\displaystyle \frac{p_{l,i+1}+p_{l,i-1}-2p_{l,i}}{\Delta t^2} = c^2 \frac{p_{l+1,i}+p_{l-1,i}-2p_{l,i}}{\Delta x^2}   .$ (2.31)

Le terme $ p_{l,i+1}$ est le seul qui fasse intervenir la valeur de $ p$ au temps $ t_{i+1}$. Tous les autres termes impliquent seulement la valeur de $ p$ aux temps $ t_i$ ou $ t_{i-1}$. Pour obtenir une prédiction du champ $ p$, il faut donc calculer ce terme. L'algorithme de différences-finies s'écrit donc

$\displaystyle p_{l,i+1} = -p_{l,i-1}+2p_{l,i}+\frac{c^2\Delta t^2}{\Delta x^2} (p_{l+1,i}+p_{l-1,i}-2p_{l,i})   .$ (2.32)

(TODO : condition de stabilité du schéma.)

La mise en œuvre de cet algorithme, avec des conditions initiales et aux limites est traitée dans la section de travaux pratiques.

2.3 Travaux pratiques

2.3.1 Équations différentielles ordinaires

Oscillateur simple

1) Compléter le programme ressort-exo.sci afin qu'il résolve l'équation d'un oscillateur simple :

$\displaystyle m(\ddot{x}(t)) = -kx(t)   ,$ (2.33)

avec les conditions initiales $ x(0)$ et $ \dot{x}(0)$ connues.

Oscillateur forcé amorti

2) On cherche à résoudre l'équation d'un oscillateur forçé amorti :

$\displaystyle m(\ddot{x}(t)+\ddot{u}(t)) = -kx(t) -\alpha \dot{x}(t)   ,$ (2.34)

étant donnés les conditions initiales $ x(0)$ et $ \dot{x}(0)$, le forçage $ u(t)$, et les paramètres de l'oscillateur $ k, \alpha,$ et $ m$ :

a) Décomposer l'équation (2.39) en deux équations différentielles ordinaires du premier ordre.

b) Ecrire les algorithmes d'intégration en temps de ces équations par la méthode d'Euler, puis par la méthode du point milieu.

c) Adapter le programme oscillateur-exo.sci pour qu'il résolve l'équation (2.39) sans forçage (i.e., $ u(t)=0$).

3) Test du programme : Sans forçage ni amortissement ($ \alpha =0$), vérifier que la fréquence angulaire propre de l'oscillateur est bien $ \omega_0 = \sqrt{k/m}$. Constater aussi que la méthode d'Euler est facilement instable.

4) Spécifier un amortissement non nul (par exemple $ \alpha = 0,1$ Ns/m) et observer son effet. Chercher en particulier la valeur critique $ \alpha_c$ telle que l'oscillation devient apériodique.

2.3.2 Équations différentielles partielles

Ondes élastiques en une dimension

L'équation qui décrit la propagation des ondes acoustiques (élastiques) en une dimension s'écrit

$\displaystyle {\partial^2 P\over\partial t^2} = c^2 {\partial^2 P\over\partial x^2}   ,$ (2.35)

$ P(x,t)$ est par exemple le champ de perturbation de pression à l'intérieur d'un tuyau plein d'air. $ c$ est la célérité des ondes dans l'air. On place une source vibratoire en pression à la position $ x_0$, et pour $ t\ge 0$, telle que

$\displaystyle P(x_0 ,t) = {S\over 2} \sin (\omega_s t)  .$ (2.36)

1) Trouver la condition sur $ k$ pour que $ P(x ,t) = {S\over 2} \sin (\omega_s t - k(x-x_0))$ soit solution de (2.39) et (2.40).

2) Ecrire une approximation par différences finies à l'ordre 2 de l'équation (2.39), et en déduire un algorithme d'intégration en temps et en espace de cette équation.

3) Compléter le programme Scilab ondes-exo.sci qui affiche le profil des perturbations de pression exactes et numériques à la fin d'une simulation définie comme suit : on prendra un tuyau de 1 m, une grille de 100 points, $ c = 350$ m/s, une célérité adimensionnelle $ c_a = 0.7$, et une durée totale de simulation un peu inférieure au temps nécessaire pour traverser la moitié du tuyau. Pour la source, on la placera au centre du tuyau, avec une amplitude $ S=10^{4}$ Pa, et une fréquence de 1500 Hz. Conditions initiales : à $ t=0$, la perturbation de pression est nulle dans tout le tuyau. Conditions aux limites : la perturbation de pression est toujours nulle aux extrémités du tuyau.



Notes

... l'ordre2.1
Dire qu'une valeur $ v$ est de l'ordre d'une valeur $ u$ signifie que le rapport $ u/v$ est plus proche de $ 1$ que de $ 0.1$ ou $ 10$, ou encore, que $ 0.5\lesssim u/v\lesssim 5$
Maillot Bertrand 2009-03-10